Startik

Phép vi phân trong toán học

Đối tượng: Tính đạo hàm và đạo hàm bậc hai của nhiều loại hàm số
Chủ đề cốt lõi: Quy tắc đạo hàm của thương, đạo hàm của hàm hợp·hàm ẩn·hàm ngược, đạo hàm của hàm mũ·log·lượng giác, đạo hàm tham số, đạo hàm của hàm lũy thừa·hàm số mũ hữu tỉ·hàm số mũ thực, đạo hàm bậc hai
Ứng dụng: Phân tích các hiện tượng đời sống·khoa học như vật lý (nhiệt độ·vận tốc âm thanh), mô hình dân số

Giả thiết: \(G(y), H(y)\) khả vi, \(H(y)\neq 0\)
Suy ra bằng cách dùng quy tắc đạo hàm của tích và các đẳng thức \(G/H = G\cdot 1/H\), \((1/H)'=-H'/H^2\)
Công thức: \[ \left(\frac{G}{H}\right)' = \frac{G'H - GH'}{H^2} \]
Ví dụ áp dụng: Thương của đa thức, đạo hàm của đơn thức với số mũ nguyên âm \(y^n=\frac{1}{y^{-n}}\)

Cấu trúc: Khi \(Z = G(V), V = H(y)\) thì \(Z = G(H(y))\)
Góc nhìn gia số: \(\dfrac{\Delta Z}{\Delta y} = \dfrac{\Delta Z}{\Delta V}\cdot\dfrac{\Delta V}{\Delta y}\)
Công thức (quy tắc dây chuyền): \[ \frac{dZ}{dy} = \frac{dZ}{dV}\cdot \frac{dV}{dy} = G'(H(y))\cdot H'(y) \]
Ứng dụng: Với \(Z = (3y^2+1)^5\), \(Z=\sin(2y-1)\), \(Z=\tan(3y^2)\) v.v., tách thành “hàm ngoài” và “hàm trong” để vi phân

Số mũ nguyên \(n\): Với mọi số nguyên \(n\), \[ \frac{d}{dy} y^n = ny^{n-1} \]
- \(n\ge 1\): Chứng minh trực tiếp bằng khai triển tích
- \(n\le 0\): Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương cho \(y^n = 1/y^{-n}\)
Số mũ hữu tỉ \(s=\frac{p}{q}\): Đặt hàm ẩn \(z^q = y^p\) rồi vi phân \[ \frac{d}{dy} y^s = s y^{s-1} \quad (y>0) \]
Số mũ thực \(a\): Dùng hàm mũ·log \[ y^a = e^{a\ln y}, \quad (y^a)' = a y^{a-1} \quad (y>0, a\in\mathbb{R})

Các hàm lượng giác cơ bản:
- \((\sin y)' = \cos y\)
- \((\cos y)' = -\sin y\)
- \(\tan y = \dfrac{\sin y}{\cos y}\) → dùng quy tắc đạo hàm của thương, \((\tan y)' = 1/\cos^2 y = \sec^2 y\)
- \(\cot y = \dfrac{\cos y}{\sin y}\) → \((\cot y)' = -1/\sin^2 y = -\csc^2 y\)
Hàm lượng giác ngược (giới thiệu gián tiếp): Nêu rằng có thể suy ra bằng đạo hàm của hàm ngược·hàm ẩn

Logarit tự nhiên:
- \(z = \ln y\) ↔ \(y=e^z\)
- \(\dfrac{dy}{dz} = e^z = y\), bằng quy tắc đạo hàm của hàm ngược ta có \[ \frac{dz}{dy} = \frac{1}{y} \]
Logarit thập phân·logarit cơ số \(b\):
- \(\log_b y = \dfrac{\ln y}{\ln b}\)
- \((\log_b y)' = \dfrac{1}{y\ln b}\) \((b>0, b\ne 1)\)
Logarit hợp: Nếu \(z=\ln G(y)\) thì \[ z' = \frac{G'(y)}{G(y)} \]

Hàm mũ cơ số \(e\):
- Từ quan hệ hàm ngược \(y=e^z \Leftrightarrow z=\ln y\) và quy tắc đạo hàm của hàm ngược suy ra \[ \frac{d}{dy} e^y = e^y \]
Hàm mũ tổng quát \(a^y\) (\(a>0,a\ne 1\)):
- \(a^y = e^{y\ln a}\)
- \((a^y)' = a^y \ln a\)
Ứng dụng: Phân tích tăng trưởng·suy giảm mũ, mô hình dân số, tốc độ biến thiên của nhiệt độ·vận tốc, v.v.

Định nghĩa: Khi \(z\) không xuất hiện tường minh mà được cho bởi phương trình dạng \(G(y,z)=0\), ta gọi \(z\) là hàm ẩn của \(y\)
Phương pháp: Coi \(z\) là hàm theo \(y\) và vi phân tất cả các hạng theo \(y\)
- \(\dfrac{d}{dy} G(y,z(y)) = G_y + G_z \dfrac{dz}{dy} = 0\)
- \(\displaystyle \frac{dz}{dy} = -\frac{G_y}{G_z}\)
Ví dụ: Với đường tròn \(y^2+z^2=4\), \[ 2y + 2z\frac{dz}{dy}=0 \Rightarrow \frac{dz}{dy} = -\frac{y}{z} \]
Ưu điểm: Vẫn có thể vi phân ngay cả khi khó giải tường minh \(z\) theo \(y\)

Quan hệ hàm ngược: \(y = G(x)\), \(x = G^{-1}(y)\)
Vi phân hai vế: \(G(G^{-1}(y)) = y\) → \[ G'(G^{-1}(y))\cdot (G^{-1})'(y) = 1 \]
Công thức:
- \(\displaystyle (G^{-1})'(y) = \frac{1}{G'(x)}\) (trong đó \(x=G^{-1}(y)\))
- Hoặc \(\displaystyle \frac{dz}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dz}}\)
Ứng dụng: Tính giá trị đạo hàm trong các bài toán cho sẵn giá trị hàm ngược, suy ra \(\arcsin,\arctan\) v.v.

Biểu diễn: \(\gamma: y=G(u),\; z=H(u)\) (tham số \(u\))
Giả thiết: \(G,H\) khả vi theo \(u\), \(G'(u)\neq 0\)
Công thức: \[ \frac{dz}{dy} = \frac{\dfrac{dz}{du}}{\dfrac{dy}{du}} = \frac{H'(u)}{G'(u)} \]
Ví dụ: Với đường tròn \(y^2+z^2=1\) được cho bởi \(y=\cos u, z=\sin u\), \[ \frac{dz}{dy} = \frac{\cos u}{-\sin u} = -\cot u \]

Định nghĩa: Khi đạo hàm \(G'(y)\) lại khả vi, đạo hàm của nó \(G''(y)\) được gọi là đạo hàm bậc hai
Ký hiệu: \(Z''(y),\; G''(y),\; \dfrac{d^2 z}{dy^2}\)
Cách tính: Áp dụng thêm một lần các quy tắc vi phân đã biết (tích, thương, hàm hợp, v.v.)
Diễn giải:
- Dùng để xét độ lõm·độ lồi của đồ thị, điểm uốn
- Trong vật lý biểu thị gia tốc, độ cong, v.v. – tức tốc độ biến thiên bậc hai

Phương trình mô hình: \(P(t) = B e^{kt}\) (dân số hiện tại \(B\), hằng số tỉ lệ \(k\))
Đạo hàm: \(P'(t) = k B e^{kt} = k P(t)\)
Ý nghĩa: “Tốc độ tăng dân số tức thời = \(k\) lần dân số hiện tại” → dân số càng lớn thì tốc độ tăng càng cao, thể hiện tăng trưởng mũ
Hạn chế: Không tính đến nhiều yếu tố như tiến bộ kỹ thuật, tài nguyên·chính sách nên khác với dân số thực tế
Ý nghĩa: Là ví dụ tiêu biểu cho nỗ lực dùng hàm số·phép vi phân để dự đoán định lượng các hiện tượng xã hội·tự nhiên

Tin nhắn