수능특강 수학영역 I

大学修学能力試験特講数学領域 I

冪根：\(x^n=a\) の実数解を \( \sqrt[n]{a} \) と表し、偶数・奇数指数による存在条件と性質
指数：整数・有理数・実数指数の定義、\(a^m a^n = a^{m+n}\)、\((a^m)^n=a^{mn}\)、\((ab)^n=a^n b^n\) など指数法則の拡張
対数の定義：\(a^x=N \Leftrightarrow x=\log_a N\)、定義条件 \(a>0,a\neq1,N>0\)
対数の性質：\(\log_a MN=\log_a M+\log_a N\)、\(\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N\)、\(\log_a M^k = k\log_a M\)
底の変換：\(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)、\(\log_a b = \dfrac1{\log_b a}\)、\(a^{\log_b c}=c^{\log_b a}\)
常用対数：\(\log_{10} N=\log N\)、常用対数表の利用、\(N=a\cdot 10^n\) の形で表して近似値を求める
過去問：冪根・対数の性質を用いた値の計算、自然数となる条件、Σと対数を組み合わせた問題

一般角・弧度法
一般角：始線を固定し、動径の回転量を \(360^\circ n + \alpha^\circ\) の形で表す
弧度法：\(1 \text{ rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi},\ 1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\) rad
扇形：弧の長さ \(l=r\theta\)、面積 \(S=\frac12 r^2\theta\)
三角関数の定義
単位円上の \(P(x,y)\) と角 \(\theta\)：\(\sin\theta=\dfrac y r,\ \cos\theta=\dfrac x r,\ \tan\theta=\dfrac y x\)
符号：象限ごとの sin, cos, tan の符号整理、\(\tan\theta\) が定義されない角 \(\theta = \frac{\pi}{2}+k\pi\)
関係式：\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
グラフと性質
\(y=\sin x, y=\cos x\)：周期 \(2\pi\)、値域 \([-1,1]\)、対称性と最大値・最小値
\(y=\tan x\)：周期 \(\pi\)、定義域から除く点 \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)、漸近線と原点対称
変形：\(a\sin x, \sin(ax)\) などにおける振幅・周期の変化
三角関数の性質・活用
角の変換：\(\sin(\pi\pm\theta),\ \cos(\pi\pm\theta),\ \sin(\frac{\pi}{2}\pm\theta)\) などで符号と関数の入れ替え
三角式の変形による方程式・不等式の解の求め方（グラフまたは単位円を利用）
過去問：三角関数の最大値・最小値、周期性の利用、方程式・不等式の解の個数・和

等差数列
一般項：第1項を \(a\)、公差を \(d\) とするとき \(a_n=a+(n-1)d\)
和：\(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}\)、\(S_n\) は \(n\) に関する2次式
等差中項：\(a,b,c\) が等差数列なら \(b=\dfrac{a+c}{2}\)
等比数列
一般項：第1項を \(a\)、公比を \(r\) とすると \(a_n=ar^{n-1}\)
和：\(r\neq1\) のとき \(S_n=a\dfrac{1-r^n}{1-r}=a\dfrac{r^n-1}{r-1}\)、\(r=1\) のとき \(S_n=na\)
等比中項：\(a,b,c\) が等比数列なら \(b^2=ac\)
帰納的定義
等差：\(a_1=a,\ a_{n+1}=a_n+d\)
等比：\(a_1=a,\ a_{n+1}=ra_n\)
条件式 \(2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}\)、\(a_{n+1}^2=a_na_{n+2}\) から等差・等比かを判定
過去問：等差・等比の重ね合わせ、和の公式を用いた特定の項、公差・公比、条件式から形を判別

和の記号 Σ
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n\)、区間の和：\(\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^{m-1}a_k\)
性質：線形性（項ごとの加法、定数倍、定数の和）
べきの和の公式
\(\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)
\(\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2\)
恒等式の差分を用いて導出し、様々な和の問題に直接活用
分数形一般項の和
部分分数分解：\(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\) などでテレスコーピング型の和を作る
無理式の分母を有理化した後、テレスコーピング構造に整理：\(\dfrac{1}{\sqrt{k+16}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+16}-\sqrt{k}\)
帰納的に定義された数列
漸化式に \(n=1,2,3,\dots\) を代入して初項と規則を把握し、等差・等比かどうかを確認
漸化式と Σ を組み合わせて特定の項、部分和、条件を満たす添字を求める
数学的帰納法
第1段階：\(n=1\)（または \(n=m\)）で命題が成り立つことを確認
第2段階：\(n=k\) で真であると仮定し、\(n=k+1\) でも真であることを証明
適用対象：和の公式、不等式、積の構造など自然数全体に関する命題