Cours spécial pour l’examen de compétence universitaire – Mathématiques I
Structure globale des unités
01 Exponentielles et logarithmes : racines n-ièmes, lois des exposants, définition et propriétés des logarithmes, changement de base, logarithmes décimaux, calculs et inégalités portant sur des expressions exponentielles et logarithmiques
02 Fonctions exponentielles et fonctions logarithmiques : graphiques et propriétés, translations, symétries, maximum et minimum, utilisation dans les équations et inégalités
03 Sens des fonctions trigonométriques et graphiques : angle orienté, mesure en radians, définition, relations et graphiques des fonctions trigonométriques, propriétés, équations et inégalités
04 Théorème des sinus et théorème des cosinus : côtés, angles et aire d’un triangle, détermination de la forme d’un triangle, problèmes sur les cercles circonscrits et inscrits
05 Suites arithmétiques et suites géométriques : signification, terme général et somme, moyenne arithmétique et moyenne géométrique, définition récursive, applications à d’anciens sujets d’examen
06 Somme de suites et principe de récurrence : notation Σ et ses propriétés, sommes de puissances, sommes de fractions, suites définies par récurrence, démonstration par récurrence
01 Exponentielles et logarithmes
Racines n-ièmes : on note la solution réelle de \(x^n=a\) par \( \sqrt[n]{a} \), et l’on étudie les conditions d’existence et les propriétés selon que l’exposant est pair ou impair
Exposants : définition des exposants entiers, rationnels et réels, extension des lois des exposants telles que \(a^m a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^n b^n\)
Définition du logarithme : \(a^x=N \Leftrightarrow x=\log_a N\), conditions de définition \(a>0,a\neq1,N>0\)
Changement de base : \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\), \(\log_a b = \dfrac1{\log_b a}\), \(a^{\log_b c}=c^{\log_b a}\)
Logarithmes décimaux : \(\log_{10} N=\log N\), utilisation des tables de logarithmes décimaux, recherche d’approximation en écrivant \(N\) sous la forme \(N=a\cdot 10^n\)
Anciens sujets : calculs de valeurs à l’aide des racines n-ièmes et des propriétés des logarithmes, conditions pour obtenir un entier naturel, problèmes combinant Σ et logarithmes
02 Fonctions exponentielles et fonctions logarithmiques
Fonction exponentielle \(y=a^x (a>0,a\neq1)\)
Domaine : ensemble des réels ; ensemble des valeurs : \(y>0\) ; elle passe par le point (0,1) et admet l’asymptote \(y=0\)
\(a>1\) : fonction croissante ; \(0<a<1\) : fonction décroissante
Équations et inégalités exponentielles : interprétation en comparant les exposants selon la taille de la base
Équations et inégalités logarithmiques : vérifier les conditions sur les arguments, puis utiliser la monotonie pour comparer
Anciens sujets : points d’intersection de graphiques, aires, combinaisons avec des triangles et des cercles, problèmes où l’on détermine l’inconnue après transformation d’expressions exponentielles ou logarithmiques
03 Sens des fonctions trigonométriques et graphiques
Angle orienté et mesure en radians
Angle orienté : on fixe le côté initial et on exprime la rotation du rayon mobile sous la forme \(360^\circ n + \alpha^\circ\)
Mesure en radians : \(1 \text{ rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi},\ 1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\) rad
Secteur circulaire : longueur de l’arc \(l=r\theta\), aire \(S=\frac12 r^2\theta\)
Définition des fonctions trigonométriques
Pour un point \(P(x,y)\) sur le cercle de rayon \(r\) et un angle \(\theta\) : \(\sin\theta=\dfrac y r,\ \cos\theta=\dfrac x r,\ \tan\theta=\dfrac y x\)
Signe : organisation des signes de sin, cos et tan selon les quadrants, angles \(\theta = \frac{\pi}{2}+k\pi\) pour lesquels \(\tan\theta\) n’est pas définie
\(y=\sin x, y=\cos x\) : période \(2\pi\), ensemble des valeurs \([-1,1]\), symétries et maximum/minimum
\(y=\tan x\) : période \(\pi\), points exclus du domaine \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), asymptotes et symétrie par rapport à l’origine
Transformations : variations d’amplitude et de période pour des formes comme \(a\sin x, \sin(ax)\)
Propriétés et applications des fonctions trigonométriques
Transformation d’angles : modification du signe et permutation des fonctions avec \(\sin(\pi\pm\theta),\ \cos(\pi\pm\theta),\ \sin(\frac{\pi}{2}\pm\theta)\), etc.
Méthodes pour résoudre des équations et inégalités trigonométriques par transformations, en utilisant les graphiques ou le cercle trigonométrique
Anciens sujets : maximum et minimum des fonctions trigonométriques, utilisation de la périodicité, nombre et somme des solutions d’équations et d’inégalités
04 Théorème des sinus et théorème des cosinus
Théorème des sinus : \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)
Calcul du rayon \(R\) du cercle circonscrit ; relation entre côtés et angles \(a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C\)
Utilisation partielle de la formule pour déterminer les côtés, les angles ou \(R\) inconnus
Théorème des cosinus :
Formules telles que \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) pour déterminer côtés et angles dans un triangle où trois côtés, ou deux côtés et l’angle compris, sont donnés
Transformations telles que \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) pour juger si l’angle est aigu, droit ou obtus
Forme du triangle
Dériver les conditions de triangle isocèle, rectangle et équilatéral à partir de transformations des théorèmes des sinus et des cosinus
Transformer une expression trigonométrique donnée (par exemple \(a\cos A=b\cos B\)) en conditions sur les longueurs des côtés pour déterminer la forme
Quadrilatère : si les longueurs des deux diagonales sont \(p,q\) et l’angle entre elles est \(\theta\), alors \(S=\frac12 pq\sin\theta\)
Aire combinée avec des cercles inscrits et circonscrits ; nombreux anciens sujets utilisant des triangles inscrits ou circonscrits
05 Suites arithmétiques et suites géométriques
Suite arithmétique
Terme général : si le premier terme est \(a\) et la raison est \(d\), alors \(a_n=a+(n-1)d\)
Somme : \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}\), \(S_n\) est une expression quadratique en \(n\)
Moyenne arithmétique : si \(a,b,c\) forment une suite arithmétique, alors \(b=\dfrac{a+c}{2}\)
Suite géométrique
Terme général : si le premier terme est \(a\) et la raison géométrique est \(r\), alors \(a_n=ar^{n-1}\)
Somme : si \(r\neq1\), \(S_n=a\dfrac{1-r^n}{1-r}=a\dfrac{r^n-1}{r-1}\) ; si \(r=1\), \(S_n=na\)
Moyenne géométrique : si \(a,b,c\) forment une suite géométrique, alors \(b^2=ac\)
Définition récursive
Suite arithmétique : \(a_1=a,\ a_{n+1}=a_n+d\)
Suite géométrique : \(a_1=a,\ a_{n+1}=ra_n\)
Décider si une suite est arithmétique ou géométrique à partir de conditions telles que \(2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}\), \(a_{n+1}^2=a_na_{n+2}\)
Anciens sujets : superposition de suites arithmétiques et géométriques, détermination de certains termes, de la raison ou du rapport à l’aide des formules de somme, identification de la forme à partir de conditions données
06 Somme de suites et principe de récurrence
Symbole de somme Σ
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n\), somme sur un intervalle : \(\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^{m-1}a_k\)
Propriétés : linéarité (somme terme à terme, facteur constant, somme d’une constante)
Dérivation à l’aide de différences d’égalités identiques, puis application directe à divers problèmes de sommes
Somme de termes de forme fractionnaire
Décomposition en fractions partielles : par exemple \(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\) pour obtenir une somme télescopique
Rationaliser le dénominateur d’une expression irrationnelle puis la transformer en structure télescopique : \(\dfrac{1}{\sqrt{k+16}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+16}-\sqrt{k}\)
Suites définies par récurrence
Substituer \(n=1,2,3,\dots\) dans la relation de récurrence pour comprendre le premier terme et la règle, puis vérifier si la suite est arithmétique ou géométrique
Combiner relations de récurrence et Σ pour déterminer certains termes, sommes partielles et indices satisfaisant des conditions données
Principe de récurrence mathématique
Première étape : vérifier que l’énoncé est vrai pour \(n=1\) (ou \(n=m\))
Deuxième étape : supposer l’énoncé vrai pour \(n=k\) et démontrer qu’il est également vrai pour \(n=k+1\)
Champ d’application : énoncés portant sur l’ensemble des entiers naturels tels que formules de somme, inégalités, structures de produits, etc.
