수능특강 수학영역 I

거듭제곱근: \(x^n=a\)의 실근을 \( \sqrt[n]{a} \)로 표시, 짝수·홀수 지수에 따른 존재 조건과 성질
지수: 정수·유리수·실수 지수 정의, \(a^m a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^n b^n\) 등 지수법칙의 확장
로그 정의: \(a^x=N \Leftrightarrow x=\log_a N\), 정의조건 \(a>0,a\neq1,N>0\)
로그 성질: \(\log_a MN=\log_a M+\log_a N\), \(\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N\), \(\log_a M^k = k\log_a M\)
밑의 변환: \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\), \(\log_a b = \dfrac1{\log_b a}\), \(a^{\log_b c}=c^{\log_b a}\)
상용로그: \(\log_{10} N=\log N\), 상용로그표 사용, \(N=a\cdot 10^n\) 표현을 통한 근삿값
기출: 거듭제곱근·로그 성질을 이용한 값 계산, 자연수가 되는 조건, Σ와 로그 결합 문제

일반각·호도법
일반각: 시초선 고정, 동경 회전량을 \(360^\circ n + \alpha^\circ\) 형태로 표현
호도법: \(1 \text{ rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi},\ 1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\) rad
부채꼴: 호의 길이 \(l=r\theta\), 넓이 \(S=\frac12 r^2\theta\)
삼각함수 정의
단위원에서 \(P(x,y)\)와 각 \(\theta\): \(\sin\theta=\dfrac y r,\ \cos\theta=\dfrac x r,\ \tan\theta=\dfrac y x\)
부호: 사분면별 sin, cos, tan 부호 정리, \(\tan\theta\) 정의 불가 각 \(\theta = \frac{\pi}{2}+k\pi\)
관계식: \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
그래프와 성질
\(y=\sin x, y=\cos x\): 주기 \(2\pi\), 치역 \([-1,1]\), 대칭성과 최댓값·최솟값
\(y=\tan x\): 주기 \(\pi\), 정의역 제외 \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), 점근선과 원점 대칭
변형: \(a\sin x, \sin(ax)\) 등에서 진폭·주기 변화
삼각함수의 성질·활용
각 변환: \(\sin(\pi\pm\theta),\ \cos(\pi\pm\theta),\ \sin(\frac{\pi}{2}\pm\theta)\) 등 부호와 함수 교환
삼각식 변형으로 방정식·부등식 해 구하기(그래프 또는 단위원 이용)
기출: 삼각함수의 최댓값·최솟값, 주기성 이용, 방정식·부등식의 해의 개수·합

등차수열
일반항: 첫째항 \(a\), 공차 \(d\)일 때 \(a_n=a+(n-1)d\)
합: \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}\), \(S_n\)은 \(n\)에 대한 이차식
등차중항: \(a,b,c\)가 등차수열이면 \(b=\dfrac{a+c}{2}\)
등비수열
일반항: 첫째항 \(a\), 공비 \(r\)이면 \(a_n=ar^{n-1}\)
합: \(r\neq1\)일 때 \(S_n=a\dfrac{1-r^n}{1-r}=a\dfrac{r^n-1}{r-1}\), \(r=1\)이면 \(S_n=na\)
등비중항: \(a,b,c\)가 등비수열이면 \(b^2=ac\)
귀납적 정의
등차: \(a_1=a,\ a_{n+1}=a_n+d\)
등비: \(a_1=a,\ a_{n+1}=ra_n\)
조건식 \(2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}\), \(a_{n+1}^2=a_na_{n+2}\)로부터 등차·등비 판정
기출: 등차·등비 중첩, 합 공식을 이용한 특정 항, 공차·공비, 조건식으로부터 형태 판별

합의 기호 Σ
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n\), 구간 합: \(\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^{m-1}a_k\)
성질: 선형성(항별 더하기, 상수 배, 상수의 합)
거듭제곱의 합 공식
\(\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)
\(\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2\)
항등식 차분을 이용해 유도, 여러 합 문제에 직접 활용
분수꼴 일반항의 합
부분분수 분해: \(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\) 등으로 망원형 합 만들기
무리식 분모 유리화 후 망원형 구조로 정리: \(\dfrac{1}{\sqrt{k+16}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+16}-\sqrt{k}\)
귀납적으로 정의된 수열
재귀식에 \(n=1,2,3,\dots\) 대입해 초항과 규칙 파악, 등차·등비 여부 확인
재귀식과 Σ를 결합해 특정 항, 부분합, 조건 만족하는 인덱스 찾기
수학적 귀납법
1단계: \(n=1\) (또는 \(n=m\))에서 명제가 성립함을 확인
2단계: \(n=k\)에서 참이라고 가정하여 \(n=k+1\)에서도 참임을 증명
적용 대상: 합 공식, 부등식, 곱 구조 등 자연수 전체에 대한 명제