수학 미분법

 단원 개관

• 대상: 여러 가지 함수들의 도함수, 이계도함수 계산
• 핵심 주제: 몫의 미분법, 합성함수·음함수·역함수의 미분, 지수·로그·삼각함수 미분, 매개변수 미분, 거듭제곱·유리·실수 지수 함수 미분, 이계도함수
• 활용: 물리(기온·소리 속도), 인구 모형 등 실생활·과학 현상 해석

 함수의 몫의 미분법

• 가정: \(G(y), H(y)\) 미분가능, \(H(y)\neq 0\)
• 곱의 미분법과 \(G/H = G\cdot 1/H\), \((1/H)'=-H'/H^2\)를 이용해 유도
• 공식: \[ \left(\frac{G}{H}\right)' = \frac{G'H - GH'}{H^2} \]
• 적용 예: 다항식의 몫, 단항식의 음의 정수 지수 \(y^n=\frac{1}{y^{-n}}\)의 미분

 합성함수의 미분법

• 구조: \(Z = G(V), V = H(y)\) 인 경우 \(Z = G(H(y))\)
• 증분 관점: \(\dfrac{\Delta Z}{\Delta y} = \dfrac{\Delta Z}{\Delta V}\cdot\dfrac{\Delta V}{\Delta y}\)
• 공식(연쇄법칙): \[ \frac{dZ}{dy} = \frac{dZ}{dV}\cdot \frac{dV}{dy} = G'(H(y))\cdot H'(y) \]
• 활용: \(Z = (3y^2+1)^5\), \(Z=\sin(2y-1)\), \(Z=\tan(3y^2)\) 등에서 바깥함수·안쪽함수로 나누어 미분

 거듭제곱, 유리·실수 지수 함수의 미분

• 정수 지수 \(n\): 모든 정수 \(n\)에 대해 \[ \frac{d}{dy} y^n = ny^{n-1} \]
• \(n\ge 1\): 곱셈 전개로 직접 증명
• \(n\le 0\): \(y^n = 1/y^{-n}\)에 몫의 미분법 적용
• 유리수 지수 \(s=\frac{p}{q}\): 음함수 \(z^q = y^p\)로 두고 미분 \[ \frac{d}{dy} y^s = s y^{s-1} \quad (y>0) \]
• 실수 지수 \(a\): 지수·로그 이용 \[ y^a = e^{a\ln y}, \quad (y^a)' = a y^{a-1} \quad (y>0, a\in\mathbb{R}) \]

 삼각함수의 도함수

• 기본 삼각함수:
• \((\sin y)' = \cos y\)
• \((\cos y)' = -\sin y\)
• \(\tan y = \dfrac{\sin y}{\cos y}\) → 몫의 미분으로 \((\tan y)' = 1/\cos^2 y = \sec^2 y\)
• \(\cot y = \dfrac{\cos y}{\sin y}\) → \((\cot y)' = -1/\sin^2 y = -\csc^2 y\)
• 역삼각함수(간접 제시): 역함수·음함수 미분으로 유도 가능함을 언급

 로그함수와 그 합성의 미분

• 자연로그:
• \(z = \ln y\) ↔ \(y=e^z\)
• \(\dfrac{dy}{dz} = e^z = y\), 역함수 미분법으로 \[ \frac{dz}{dy} = \frac{1}{y} \]
• 상용·밑 \(b\) 로그:
• \(\log_b y = \dfrac{\ln y}{\ln b}\)
• \((\log_b y)' = \dfrac{1}{y\ln b}\) \((b>0, b\ne 1)\)
• 합성 로그: \(z=\ln G(y)\)이면 \[ z' = \frac{G'(y)}{G(y)} \]

 지수함수의 도함수

• 자연지수 함수:
• 역함수 관계 \(y=e^z \Leftrightarrow z=\ln y\) 및 역함수 미분법으로 \[ \frac{d}{dy} e^y = e^y \]
• 일반 지수 \(a^y\) (\(a>0,a\ne 1\)):
• \(a^y = e^{y\ln a}\)
• \((a^y)' = a^y \ln a\)
• 응용: 지수성장·감쇠, 인구 모형, 온도·속도 변화율 등 해석

 음함수의 미분법

• 정의: \(G(y,z)=0\) 꼴로 \(z\)가 직접 나타나지 않고 주어진 경우, \(z\)를 \(y\)의 음함수라 함
• 방법: \(z\)를 \(y\)의 함수로 보고 모든 항을 \(y\)에 대해 미분
• \(\dfrac{d}{dy} G(y,z(y)) = G_y + G_z \dfrac{dz}{dy} = 0\)
• \(\displaystyle \frac{dz}{dy} = -\frac{G_y}{G_z}\)
• 예: 원 \(y^2+z^2=4\)에서 \[ 2y + 2z\frac{dz}{dy}=0 \Rightarrow \frac{dz}{dy} = -\frac{y}{z} \]
• 장점: \(z\)를 명시적으로 풀기 어려운 경우에도 미분 가능

 역함수의 미분법

• 역함수 관계: \(y = G(x)\), \(x = G^{-1}(y)\)
• 양변 미분: \(G(G^{-1}(y)) = y\) → \[ G'(G^{-1}(y))\cdot (G^{-1})'(y) = 1 \]
• 공식:
• \(\displaystyle (G^{-1})'(y) = \frac{1}{G'(x)}\) (단, \(x=G^{-1}(y)\))
• 또는 \(\displaystyle \frac{dz}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dz}}\)
• 활용: 역함수 값이 주어진 문제에서 도함수 값 계산, \(\arcsin,\arctan\) 등 유도

 매개변수로 나타낸 함수의 미분

• 표현: \(\gamma: y=G(u),\; z=H(u)\) (매개변수 \(u\))
• 가정: \(G,H\)가 \(u\)에 대해 미분가능, \(G'(u)\neq 0\)
• 공식: \[ \frac{dz}{dy} = \frac{\dfrac{dz}{du}}{\dfrac{dy}{du}} = \frac{H'(u)}{G'(u)} \]
• 예: 원 \(y^2+z^2=1\)을 \(y=\cos u, z=\sin u\)로 둘 때 \[ \frac{dz}{dy} = \frac{\cos u}{-\sin u} = -\cot u \]

 이계도함수

• 정의: 도함수 \(G'(y)\)가 다시 미분가능할 때 그 도함수 \(G''(y)\)를 이계도함수라 함
• 표기: \(Z''(y),\; G''(y),\; \dfrac{d^2 z}{dy^2}\)
• 계산: 알려진 미분법(곱, 몫, 합성 등)을 한 번 더 적용
• 해석:
• 그래프의 오목·볼록, 변곡점 판별
• 물리에서는 가속도, 곡률 등 2차 변화율 의미

 지수함수 미분의 활용: 맬서스 인구 모형

• 모형식: \(P(t) = B e^{kt}\) (현재 인구 \(B\), 비례상수 \(k\))
• 미분: \(P'(t) = k B e^{kt} = k P(t)\)
• 의미: “순간 인구 증가율 = 현재 인구의 \(k\)배” → 인구가 많을수록 증가 속도도 커지는 지수적 성장
• 한계: 기술 발전, 자원·정책 등 다양한 요인을 고려하지 못해 실제 인구와는 차이가 발생
• 의의: 미분·함수를 이용해 사회·자연 현상을 정량적으로 예측하려는 시도의 대표적 예